Ricerca pionieristica dei matematici polacchi sulla simmetria di tutte le simmetrie

I matematici polacchi sono riusciti a risolvere un problema importante riguardante il Simmetria di tutte le simmetrie risolvere. Questo è stato un problema irrisolto per diversi decenni, una delle maggiori sfide della teoria geometrica dei gruppi.

I risultati del Dr. Marek Kaluba (Adam Mickiewicz University e Karlsruhe Institute of Technology), Prof.Dawid Kielak (Università di Oxford) e Prof. Piotr Nowak (Istituto di matematica dell'Accademia polacca delle scienze) sono stati pubblicati in una delle più rinomate riviste matematiche Annali di matematica pubblicato.

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Abbiamo risolto un particolare problema a lungo aperto dimostrando che una particolare famiglia infinita di oggetti algebrici - gruppi - ha la proprietà T ed è quindi molto incompatibile con il Geometria euclidea è ", riassume Nowak.

E il dott. Marek Kaluba aggiunge: Grazie alla nostra ricerca, abbiamo compreso alcuni aspetti geometrici dei gruppi che codificano tutti simmetrie.
Gli oggetti con l'estensione Proprietà Tche abbiamo esaminato hanno proprietà geometriche molto esotiche (non possono essere chiamate Simmetrie nella Geometria euclidea sarà realizzato). Questo sembra disconnesso dalla realtà? In superficie, sì. Ma la conoscenza di questa proprietà complicata di T ha già trovato applicazione. Consente, ad esempio, la costruzione di espansori - grafici con un gran numero di connessioni, che possono essere trovati in Algoritmi di streaming essere utilizzato. E simili algoritmi sono tra le altre cose per la visualizzazione di Tendenze su Twitter responsabile.

La questione se i gruppi che abbiamo studiato avessero una tale proprietà T è apparsa sulla stampa negli anni '90. Quando ero uno studente di dottorato, quello era un problema che incontravo in ogni altra lezione e conferenza Teoria dei gruppi sentito - riassume Piotr Nowak.
E Dawid Kielak aggiunge: Il nostro risultato spiega come funziona un certo algoritmo. È l'algoritmo di sostituzione del prodotto che viene utilizzato quando si desidera estrarre articoli da un insieme di grandi dimensioni, ad es. B. un insieme con più elementi del numero di particelle nell'universo. Questo algoritmo È in circolazione dagli anni '1990 e funziona molto meglio del previsto. Il nostro articolo spiega perché funziona così bene - afferma il Prof. Kielak.

E aggiunge: L'informatica è nuova Fisica. Ciò che ci circonda non sono solo particelle, ma sempre più anche algoritmi. Il nostro lavoro come matematici sarà comprendere gli algoritmi, mostrare perché funzionano o no; perché sono veloci o lenti Gli scienziati si sono affidati ai calcoli del computer per la loro dimostrazione matematica. L'uso del computer per dimostrare i teoremi in matematica non è stato precedentemente considerato particolarmente elegante. La comunità di matematico teorico per lo più arricciava il naso davanti ai computer. Qui, tuttavia, questo approccio moderno ha funzionato molto bene.

Il computer ha appena fatto il lavoro. Ma non ha sostituito la logica. La nostra idea era di applicare la riduzione di un problema infinito a un problema finito - afferma il Prof. Kielak. Marek Kaluba aggiunge: Abbiamo il nostro problema su uno Problema di ottimizzazione ridotto e quindi per questo Ottimizzazione Strumenti standard utilizzati: algoritmi utilizzati dagli ingegneri per progettare i componenti.

Al computer è stato affidato il compito di trovare una matrice che soddisfacesse determinati criteri. La macchina ha creato una soluzione, ha verificato quanto soddisfaceva le condizioni date e ha gradualmente migliorato questa matrice per ottenere il tasso di errore più basso possibile. L'unica domanda era quanto fosse piccolo il margine di errore che può ottenere; si è scoperto che l'errore del computer sull'approssimazione finale era molto, molto piccolo. Quindi il calcolo del computer lo ha reso possibile, con quelli giusti argomenti matematici - Ottieni prove rigorose.

Quello creato dal computer Matrix aveva 4,5 mila colonne e 4,5 mila righe. Marek Kaluba spiega che il problema su cui stavano lavorando era inizialmente troppo grande per essere risolto da soli con un supercomputer. Quindi abbiamo usato le simmetrie interne di questo problema per rendere più facile trovare una soluzione - dice. E spiega che un approccio analogo può essere utilizzato anche per risolvere altri problemi nel campo dell'ottimizzazione degli oggetti per motivi geometrici Simmetrie Sono contrassegnati. Queste simmetrie (in forma algebrica) saranno osservabili anche nel problema di ottimizzazione e potranno essere utilizzate per Riduzione della complessità può essere utilizzato - afferma il dott. Kaluba. E aggiunge: Sebbene ci occupiamo di matematica astratta, vogliamo che il nostro software sia utile anche nelle applicazioni tecniche.