L'effetto Dzhanibekov

Oggi qualcosa dal campo della fisica per i curiosi: The Effetto Dzhanibekov, noto anche come teorema della racchetta da tennis, spiega un'instabilità di corpi rotanti con tre diversi momenti di inerzia. Il momento di inerzia indica la resistenza di un corpo ai cambiamenti nel suo movimento rotatorio. Dipende dal particolare asse di rotazione e dalla geometria. Comprendere la dinamica dei sistemi hamiltoniani classici è ancora un obiettivo cruciale con una moltitudine di applicazioni che vanno ben oltre la loro descrizione matematica. Nel caso di sistemi integrabili con pochi gradi di libertà, un approccio efficiente si basa su un'analisi geometrica per caratterizzare le proprietà dinamiche del sistema meccanico. Tali fenomeni geometrici sono tipicamente l'origine della robustezza di alcuni effetti che possono essere osservati sperimentalmente. uno di loro è il cosiddetto Effetto Dzhanibekov o anche chiamato effetto racchetta da tennis.

Effetto Dschanibekow nell'assenza di gravità della ISS

Un'ottima e dettagliata derivazione teorica del fenomeno può essere trovata qui (https://arxiv.org/pdf/1606.08237.pdf). Si tratta qui di uno che è un po 'più ruvido, ma che comunque spiega il fenomeno. Sfortunatamente, qui è necessaria una conoscenza preliminare della dinamica dei corpi rigidi:

Considera una matrice di inerzia (diagonalizzata) con momenti di inerzia I1 e I2 e I3 tali che I1 sia il più piccolo e I3 il più grande. Consideriamo ora il movimento attorno all'asse del momento d'inerzia principale I3. Il vettore della velocità angolare è:

dove gli epsilon sono piccole perturbazioni negli altri due assi principali. Se ora lo inserisci nelle equazioni di Eulero, ottieni:

Ora differenziamo la seconda equazione di Eulero:

La sostituzione di omega 1 e omega 3 nella nostra espressione, e poiché moltiplicare gli epsilon li rende abbastanza piccoli da ignorare,

Questo ci dà un'equazione differenziale per Omega 2 nella forma:

La soluzione di base è:

Quindi sappiamo che il disturbo rotazionale nell'asse omega-1 è stabile e fa movimenti periodici, o nella terminologia del movimento del corpo rigido, che fa una precessione. Il disturbo degli omega 3 segue un argomento simile a quello sopra e lo lascerò come esercizio per affrontarlo. Per l'asse intermedio abbiamo:

Inserito nelle equazioni di Eulero:

Differenziando la terza equazione di Eulero si ottiene:

Sostituiamo le nostre espressioni derivate:

Ora riorganizza e deriva la seguente equazione differenziale:

Si noti che il coefficiente è ora positivo, il che quindi porta a soluzioni esponenziali:

Questa soluzione mostra che l'omega 3 è instabile con un disturbo degli omega 2 lungo l'asse intermedio!

Che cosa significa questo?

Ora possiamo combinare tutto ciò che abbiamo derivato e imparato per comprendere il teorema. Per dirla semplicemente, se la rotazione lungo l'asse intermedio è disturbata, risulta un'equazione differenziale con soluzioni esponenziali. Questo porta ad un movimento instabile, in contrasto con il movimento preciso osservato negli altri due assi. Questo risultato è abbastanza sorprendente. Non esiste un supporto intuitivo per un tale teorema in quanto non possiamo immaginare perché il momento di inerzia intermedio si traduca in una rotazione instabile. Sembra che sia di natura puramente matematica.